按要求将下列函数展开成傅里叶级数?

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鲜妙瀚7394
2020-07-28 · TA获得超过1077个赞
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f(x)=3x²+1(-π≤x<π)为偶函数,应进行傅里叶余弦展开
设f(x)=a0+∑ancosnx,其中
a0=1/π∫f(ξ)dξ (积分限:0到π)
=1/π∫(3ξ²+1)dξ=1/π(π³+π-0-0)=π²+1
an=2/π∫f(ξ)cosnξdξ (积分限:0到π)
=2/π∫(3ξ²+1)cosnξdξ=6/π∫ξ²cosnξdξ+2/π∫cosnξdξ=6/(n³π)∫(nξ)²cosnξd(nξ)+2/(nπ)(sinnπ-sin0)=6/(n³π)∫(nξ)²cosnξd(nξ)
令nξ=ζ,则
an=6/(n³π)∫ζ²cosζdζ (积分限:0到nπ)
=6/(n³π)∫ζ²dsinζ=6/(n³π)(ζ²sinζ-∫sinζdζ²)=6/(n³π)[(nπ)²sinnπ-0-2∫ζsinζdζ]=-12/(n³π)∫ζsinζdζ=12/(n³π)∫ζdcosζ=12/(n³π)(ζcosζ-∫cosζdζ)=12/(n³π)(ζcosζ-sinζ)=12/(n³π)(nπcosnπ-sinnπ-0+sin0)=12/n²·cosnπ
∵当n为偶数时,cosnπ=1;当n为奇数时,cosnπ=-1
∴an=12(-1)^n/n²
∴f(x)=π²+1+∑12(-1)^n/n²·cosnx(-π≤x<π)
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