Question

如图三棱柱abc-a1b1c1中,ca=cb,ab=aa1,角baa1=60度。证明ab垂直a1c

Answer 1

解：
取A1B1为x轴，A1B1中点为原点0,0C1为Z轴，过点O平行于AA1的直线为y轴，设AB=2a，根据已知条件可知
AB=AC=BC=2a
因为角BAA1=60°所以y轴过点B，则C1(0,0,√3a),B1(-a,0,0),C(a,-√3a,√3a),A1(a,0,0)
向量A1C=（0，-√3a，√3a），向量C1C=(a,-√3a,√3a),向量C1B1=（-a,0,-√3a),求出平面BB1C1C的法向量
n=(√3,0,-1),向量A1C=（0，-√3a，√3a）与向量n的夹角余弦=向量A1C=√2/4,即直线A1C与平面BB1C1C所成的角正弦值是√2/4

Answer 2

证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.
因为CA＝CB，
所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B为等边三角形，
所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以
AB⊥平面OA1C.
又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.