Question

2分之1+2的2次方分之1+......2的N次方分之1的值为

Answer 1

利用高斯算法可以这样求取。
1、当n为奇数时
1/2
+
n/2
=
(1/2)(n
+
1)
2/2
+
(n
-
1)/2
=
(1/2)(n
+
1)
3/2
+
(n
-
2)/2
=
(1/2)(n
+
1)
…………………………………………………………………………
这样的和有(n
-
1)/2项，中间项是[(n +
1)/2]/2，所以
1/2
+
2×(1/2)
+
3×(1/2)
+
4×(1/2)
+
………………
+
n×(1/2)
=
[(n
-
1)/2]×[(1/2)(n
+
1)]
+
[(n +
1)/2]/2
=
(1/4)n(n
+
1)

2、当n为偶数时
1/2
+
n/2
=
(1/2)(n
+
1)
2/2
+
(n
-
1)/2
=
(1/2)(n
+
1)
3/2
+
(n
-
2)/2
=
(1/2)(n
+
1)
…………………………………………………………………………
这样的和有n/2项，所以
1/2
+
2×(1/2)
+
3×(1/2)
+
4×(1/2)
+
………………
+
n×(1/2)
=
(1/2)(n
+
1)×(n/2)
=
(1/4)n(n
+
1)

*******************************************************************************
其实这是首项为1/2，公差为1/2的等差数列前n项和问题。
1/2
+
2×(1/2)
+
3×(1/2)
+
4×(1/2)
+
………………
+
n×(1/2)
=
(1/2
+
n/2)n/2
=
(1/4)n(n
+
1)