Question

设函数在上是增函数.求正实数的取值范围;设,,求证:.

设函数在上是增函数. 求正实数的取值范围; 设,,求证:.

Answer 1

求出的导函数,因为函数在上是增函数,即导函数大于等于对属于恒成立,令导函数大于等于列出不等式,解出大于等于的倒数,求出倒数的最大值即可得到实数的范围;设等于,由大于,大于,得出大于,根据函数在上是增函数,得到大于,化简可得;设,且大于,求出的导函数,根据大于得到导函数大于,所以为增函数,由大于,得到大于即大于,即可得到,综上,得证.
解:对恒成立,对恒成立,又,为所求;取,,,,一方面,由知在上是增函数,即;另一方面,设函数,(),在上是增函数且在处连续,又,当时,,即,综上所述,.
此题考查学生会利用导数研究函数的单调性,灵活运用函数的单调性解决实际问题,是一道综合题.