Question

已知函数()若函数在上为增函数,求正实数的取值范围;()设,,求证:.

已知函数 ()若函数在上为增函数,求正实数的取值范围; ()设,,求证:.

Answer 1

()求出,函数在上为增函数,则有在上恒成立,进而可转化为函数的最值问题解决;
()根据在上为增函数,可得,从而可证明;构造函数,易判在上是增函数,可得时,由此可证明.
()解:,,
因为函数在上为增函数,所以对恒成立,
即:对恒成立,亦即对恒成立,
,即.
故正实数的取值范围是.
()证明:一方面,由知,在上是增函数,
所以,即,即.
另一方面,设函数,,
所以在上是增函数,
又,当时,,所以,则.
综上,.
本题考查导数与函数单调性的关系以及应用导数证明不等式问题.(不恒为)是可导函数在某区间上递增的充要条件.