Question

复数域在复数域上的线性空间

复数域c作为集合,对于通常………………所成的复数域c上的线性空间,维数为什么是1
复数不是a+bi吗,怎么会是任意a可由1 a=a1来线性表示
复数域c……对于实数域的线性空间反而是2维

Answer 1

线性空间必然是由两个集合,两种运算构成.
一个集合是向量集,另一个集合是数集（即考虑的数域）
讨论线性空间的维数,一定与考虑的数域有关.
复数域C作为向量集,如果看成复数域C上的线性空间,那么我们取向量ε=1≠0,则ε线性无关（单独1个非零向量一定是线性无关的）,
于是,对任意的向量α∈向量集C,存在复数域的数α,使得
α=α×ε=α×1 (左边的α是向量,右边的α是复数域上的数）
即向量α可以由向量ε=1线性表示,
所以ε是线性空间C的一组基,从而dimC=1.
但若把线性空间C看成实数域R上的线性空间,那么我们取向量ε1=1,ε2=i∈向量集C,则ε1,ε2线性无关.
而对任意的向量α∈向量集C,存在实数域的数a,b,使得α=a×1+b×i
即向量α可以由向量ε1=1,ε2=i线性表示,
（注意,这里线性表示的系数,必须是实数a,b而不是复数）
所以ε1,ε2是线性空间C的一组基,从而dimC=2.