Question

已知a>0 b>0 a+b=1 。求(a+1/a)^2+(b+1/b)^2的最小值(答案是25/2) 求大神

(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥0.5*(1+1/ab)^2 有上面可以知道1/ab≥4 我设(a+1/a)^2+(b+1/b)^2=y1 0.5*(1+1/ab)^2喂y2 y1≥y2 不是就应该是y1大于等于y2的最大值吗 我的理解是不是有错误 谁可以解析下呢 为什么要取ab=1/4进去啊

Answer 1

本题
解法灰常多，楼主的解法没看懂.
以下用Cauchy不等式解：
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
≥(1/2)·[(a+b)+(1/a+1/b)]^2
≥(1/2)·[1+(1+1)^2/(a+b)]^2
＝(1/2)·(1+4)^2
＝25/2.
显然，以上两
不等号
取等时，
a＝b＝1/2,
故所求最小值为：25/2。