Question

已知函数f(x)=x^3-(k^2-k+1)x^2+5x-2,g(x)=k^2x^2+kx+1,其中k属于R，

设函数p(x)=f(x)+g(x)，若p(x)在区间（0.3）上不单调，求k的取值范围

Answer 1

p(x)=x³+(k-1)x²+(k+5)x-1
p'(x)=3x²+2(k-1)x+(k+5)
p(x)在区间（0.3）上不单调则有极值
即p'(x)=0在(0,3)有解

若只有一个解
则p(0)*p(3)<0
(k+5)(27+6k-6+k+5)<0
-5<k<-26/7

若有两个解
开口向上
所以有p(0)>0,p(3)>0,判别式大于0，对称轴x=-(k-1)/3在区间内
所以k+5>0,k>-5
7k+26>0,k>-26/7

(k-1)²-3(k+5)>0
k²-5k-14>0
k<-2,k>7

0<-(k-1)/3<3
-9<k-1<0
-8<k<1

综上
-5<k<-26/7,-26/7<k<-2

Answer 2

p(x)=x³+(k-1)x²+(k+5)x-1
p'(x)=3x²+2(k-1)x+(k+5)
p(x)在区间（0.3）上不单调则有极值
即p'(x)=0在(0,3)有解
若只有一个解
则p(0)*p(3)<0
(k+5)(27+6k-6+k+5)<0
-5<k<-26/7
若有两个解
开口向上
所以有p(0)>0,p(3)>0,判别式大于0，对称轴x=-(k-1)/3在区间内
所以k+5>0,k>-5
7k+26>0,k>-26/7
(k-1)²-3(k+5)>0
k²-5k-14>0
k<-2,k>7
0<-(k-1)/3<3
-9<k-1<0
-8<k<1
综上
-5<k<-26/7,-26/7<k<-2