因数的概念
因数的含义: 两个正整数相乘,其中这两个数都叫做积的因数。(即一整数被另一整数整除,后者即是前者的因数)。
因数亦称因子。一整数被另一整数整除,后者即是前者的因数。
除法里,如果被除数除以除数,所得的商都是自然数而没有余数,就说被除数是除数的倍数,除数是被除数的因数。
我们将一个合数分成几个质数相乘的形式,这样的几个质数叫做这个合数的质因数。
定义
若一整数能除尽另一整数,则前者称为后者的因数。如1、3、5、15都是15的因数。也称为「因子」。
在小学数学里,两个正整数相乘,那么这两个数都叫做积的因数,或称为约数。
事实上因数一般定义在整数上:设A为整数,B为非零整数,若存在整数Q,使得A=QB,则称B是A的因数,记作B|A。但是也有的作者不要求
B≠0。
例如:
2X6=12,2和6的积是12,因此2和6是12的因数。12是2的倍数,也是6的倍数。
3X(—9)=—27,3和-9都是-27的因数。-27是3和-9的倍数。
一般而言,整数A乘以整数B得到整数C,整数A与整数B都称做整数C的因数,反之,整数C为整数A的倍数,也为整数B的倍数。
相关性质
1.整除:若整数a除以非零整数b,商为整数,且余数为零,我们就说a能被b整除(或说b能整除a),记作b|a。
2.质数﹙素数﹚:恰好有两个正因数的自然数。(或定义为在大于1的自然数中,除了1和此整数自身外两个因数,无法被其他自然数整除的数)。
3.合数:除了1和它本身还有其它正因数。
4.1只有正因数1,所以它既不是质数也不是合数。
5.若a是b的因数,且a是质数,则称a是b的质因数。例如2,3,5均为30的质因数。6不是质数,所以不算。7不是30的因数,所以也不是质因数。
6.公因数只有1的两个非零自然数,叫做互质数。
7.1个非零自然数的正因数的个数是有限的,其中最小的是1,最大的是它本身。而一个非零自然数的倍数的个数是无限的。
8.所有不为零的整数都是0的因数。(还有争议)
9.2是最小的质数。
10.4是最小的合数。
公因数
定义:两个或多个整数公有的因数叫做它们的公因数。
两个或多个整数的公因数里最大的那一个叫做它们的最大公因数。
推论:1是任意个数的整数之公因数。
两个成倍数关系的非零自然数之间,小的那一个数就是这两个数的最大公因数。
因数和倍数是一对相互依存的概念,不能单独存在。在判断一个数是否是另一个数的因数(倍数)时,都可以用除法去进行解释。
在整数除法中,如果商是整数而没有余数,就说被除数是除数的倍数,除数是被除数的因数。为了方便,在研究因数和倍数的时候,所说的数是自然数(一般不包括0)。