Question

已知函数f(x)=ax^2-|x|+2a-1(a为实常数) 怎么做啊

1。设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式
2。设h(x)=f(x)/x,若函数h(x)在区间[1,2]上是增函数，求实数a的取值范围

Answer 1

1，当a=0，f(x)=-|x|-1在[1,2]上最小值为-3
当a不等于0，只需讨论x>0的情况。
因为x属于【1.2】，所以可以去绝对值，然后配方得：
f(x)=ax^2-x+2a-1=a(x-1/2a)^2+2a-1/4a-1
（i)当1/2a>2,g(a)=f（2）=6a-3
（ii）当1/2a<1,g(a)=f(1)=3a-2
（iii)当1<=1/2a<=2,g(a)=f(1/2a)=2a-1/4a-1
2,分母上是增函数，当a=0，不满足题意。
当a>0，对称轴1/2a<=1,a>=1/2
当a<0，对称轴1/2a>=2,不满足题意。综上a>=1/2

我自己毛算算的，要讨论的情况实在是太多，挺麻烦的，楼主还是要自己算一下。
做错了也不能怪我啊- -

Answer 2

：（1）a=1，f（x）=x2-|x|+1= x2-x+1，x≥0 x2+x+1，x＜0 = (x-1 2 )2+3 4 ，x≥0 (x+1 2 )2+3 4 ，x＜0 （2分）
∴f（x）的单调增区间为（1 2 ，+∞），（-1 2 ，0）；f（x）的单调减区间为（-∞，-1 2 ），（0，1 2 ）（4分）
（2）由于a＞0，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-1 2a )2+2a-1 4a -1
100＜1 2a ＜1，即a＞1 2 f（x）在[1，2]为增函数g（a）=f（1）=3a-2
201≤1 2a ≤2，即1 4 ≤a≤1 2 时，g(a)=f(1 2a )=2a-1 4a -1
301 2a ＞2，即0＜a＜1 4 时f（x）在[1，2]上是减函数：g（a）=f（2）=6a-3
综上可得g(a)= 6a-3 0＜a＜1 4 2a-1 4a -1 1 4 ≤a≤1 2 3a-2 a＞1 2 （10分）
（3）h(x)=ax+2a-1 x -1在区间[1，2]上任取x1、x2，
则h(x1)-h(x2)=(ax2+2a-1 x2 -1)-(ax1+2a-1 x1 -1)
=(x2-x1)(a-2a-1 x1x2 )=x2-x1 x1x2 [ax1x2-(2a-1)]（*）（12分）
∵h（x）在[1，2]上是增函数
∴h（x2）-h（x1）＞0
∴（*）可转化为ax1x2-（2a-1）＞0对任意x1、x2∈[1，2]
且x1＜x2都成立，即ax1x2＞2a-1
10当a=0时，上式显然成立
20a＞0x1x2＞2a-1 a ，由1＜x1x2＜4得2a-1 a ≤1，解得0＜a≤1
30a＜0x1x2＜2a-1 a 2a-1 a ≥4，得-1 2 ≤a＜0
所以实数a的取值范围是[-1 2 ，1]（16分）

Answer 3

1，当a=0，f(x)=-|x|-1在[1,2]上最小值为-3
当a不等于0，只需讨论x>0的情况。
因为x属于【1.2】，所以可以去绝对值，然后配方得：
f(x)=ax^2-x+2a-1=a(x-1/2a)^2+2a-1/4a-1
（i)当1/2a>2,g(a)=f（2）=6a-3
（ii）当1/2a<1,g(a)=f(1)=3a-2
（iii)当1<=1/2a<=2,g(a)=f(1/2a)=2a-1/4a-1
2,分母上是增函数，当a=0，不满足题意。
当a>0，对称轴1/2a<=1,a>=1/2
当a<0，对称轴1/2a>=2,不满足题意。综上a>=1/2
我自己毛算算的，要讨论的情况实在是太多，挺麻烦的，楼主还是要自己算一下。
做错了也不能怪我啊-
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