Question

在三角形ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c.证明:(a^2--b^2)/c^2=sin(A--B)/sinC

rt

Answer 1

首先说一个公式
三角平方差公式：(sinA)^2-(sinB)^2=sin(A+B)sin(A-B)
而三角形中 有sinC=sin(A+B)

(a^2-b^2)/c^2
=((sinA)^2-(sinB)^2)/(sinC)^2
=sin(A+B)sin(A-B)/sinCsin(A+B)
=sin(A-B)/sinC

Answer 2

由余弦定理：cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc),cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac), 所以
sin(A-B)/sinC (对分子用和差化积公式)
=(sinAcosB-cosAsinB)/sinC (由正弦定理:sinA/sinC=a/c,sinB/sinC=b/c)
=(acosB-bcosA)/c (由余弦定理)
=[a*(a^2+c^2-b^2)/(2ac)-b*(b^2+c^2-a^2)/(2bc)]/c
=[(a^2+c^2-b^2)-(b^2+c^2-a^2)]/(2c^2)
=(2a^2-2b^2)/(2c^2)
=(a^2-b^2)/c^2
即 (a^2-b^2)/c^2=sin(A-B)/sinC.