Question

已知点M在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F。

已知点M在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F。（1）若圆M于y轴相切，求椭圆的离心率（2）若圆M与y轴相交于A，B两点，且三角形ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程。（过程详细些）

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Answer 1

（1）圆和x轴、y轴都相切，且圆与x轴切与右焦点，不妨设圆心坐标为M（c，c），c为焦距。那么圆心坐标M在椭圆上，带入椭圆方程，为c²/a²+c²/b²=1，又有a²=b²+c²，则b²=a²-c²，带入方程，为c²/a²+c²/（a²-c²）=1，对于c²/（a²-c²）项，分子分母都除以a²，那么可以得到e²+e²/（1-e²）=1，整理得（e²）²-3e²+1=0，并根据0<e<1,e²=（3-√5）/2，再求e就不难了
（2）由题意，不妨设圆心坐标M为（√3，2），带入原方程，为3/a²+4/b²=1，c=√3，且a²=b²+c²，3个未知数3个方程，解得a²=9，b²=6，所以椭圆方程为x²/9+y²/6=1