Question

一道超级难的平面几何题！

锐角三角形ABC中H是垂心，O是外心，OH的连线交AB、AC于G点和K点，且OK=GH，求∠A

Answer 1

解：OK=GH =>HK=OG =>三角形AGO面积=三角形AKH的面积
=>1/2*AO*AG*sinGAO=1/2*AH*AK*sinHAC --（1）
延长AO交三角形ABC外接圆于P =>角APB=角ACB
角GAO=90-角APB=90-角ACB=角HAC 带入（1）
=>AO*AG=AH*AK ----(4)
=>AO/AH=AK/AG -------(2)
连接BH交AC于M
角GAO=角HAC=>三角形BAP相似于三角形 MAH
=>1/cosBAC=AB/AM=AP/AH=2*AO/AH
=>AO/AH=1/(2cosBAC) 带入（2）有
AK/AG=1/（2cosBAC) =1/（2*（AK^2+AG^2-GK^2)/(2AK*AG))
=>AK/AG=(AK*AG)/(AK^2+AG^2-GK^2)
=>AK^2+AG^2-GK^2=AG^2=>AK=GK -----（12）
另外，角GAO=角HAC=>cosGAO=cosHAC
=>(AG^2+AO^2-OG^2)/(2*AG*AO)=(AH^2+AK^2-HK^2)/(2*AH*AK)
由（4）有AO*AG=AH*AK上式<=>AG^2+AO^2-OG^2=AH^2+AK^2-HK^2
<=>AG^2+AO^2=AH^2+AK^2 ----(7)
=>AG^2+AO^2+2*AO*AG=AH^2+AK^2+2*AH*AK
<=>AG+AO=AH+AK ---(8)
(7)=>AG^2+AO^2-2*AO*AG=AH^2+AK^2-2*AH*AK
=>AG-A0=AK-AH ----(9)
(8)+(9)=>AG=AK -----(10)
(8)-(9)=>A0=AH -------(11)
由（11）（12）=>三角形AGK为等边三角形=>∠A=60
实际上有更加简单的陈述，不过上面的表述更加本质。
祝好！

Answer 2

解：OK=GH =>HK=OG =>三角形AGO面积=三角形AKH的面积
=>1/2*AO*AG*sinGAO=1/2*AH*AK*sinHAC --（1）
延长AO交三角形ABC外接圆于P =>角APB=角ACB
角GAO=90-角APB=90-角ACB=角HAC 带入（1）
=>AO*AG=AH*AK ----(4)
=>AO/AH=AK/AG -------(2)
连接BH交AC于M
角GAO=角HAC=>三角形BAP相似于三角形 MAH
=>1/cosBAC=AB/AM=AP/AH=2*AO/AH
=>AO/AH=1/(2cosBAC) 带入（2）有
AK/AG=1/（2cosBAC) =1/（2*（AK^2+AG^2-GK^2)/(2AK*AG))
=>AK/AG=(AK*AG)/(AK^2+AG^2-GK^2)
=>AK^2+AG^2-GK^2=AG^2=>AK=GK -----（12）
另外，角GAO=角HAC=>cosGAO=cosHAC
=>(AG^2+AO^2-OG^2)/(2*AG*AO)=(AH^2+AK^2-HK^2)/(2*AH*AK)
由（4）有AO*AG=AH*AK上式<=>AG^2+AO^2-OG^2=AH^2+AK^2-HK^2
<=>AG^2+AO^2=AH^2+AK^2 ----(7)
=>AG^2+AO^2+2*AO*AG=AH^2+AK^2+2*AH*AK
<=>AG+AO=AH+AK ---(8)
(7)=>AG^2+AO^2-2*AO*AG=AH^2+AK^2-2*AH*AK
=>AG-A0=AK-AH ----(9)
(8)+(9)=>AG=AK -----(10)
(8)-(9)=>A0=AH -------(11)
由（11）（12）=>三角形AGK为等边三角形=>∠A=60