Question

关于一个高数极限问题，求高手解答，是老师最好，多谢！

关于一个高数极限问题，求高手解答，是老师最好，多谢！一个常用不定积分公式x^a的原函数是x^(a+1)/(a+1)+C,我们都知道,x^-1的原函数是lnx+C，如果把a=-1带入上式，得到的是x^0/0，这肯定涉及到极限问题，也就是当a无限趋于-1时，得到的原函数无限接近lnx+C。
那么问题来了，当a趋于-1时，x^(a+1)/(a+1)并不等于lnx而是无穷大，但是{x^(a+1)-1}/(a+1)当a趋于-1的时候才是lnx,请问用上述公式极限怎么推出x^-1原函数是lnx+c，求合理解答，不要一些没意义的比如因为lnx导数为1/x所以x^-1原函数问lnx之类的解答，多谢了！

Answer 1

这里涉及极限交换次序的问题。事实上，求f(x)的原函数可以看做求变上限的积分：积分（从1到x）f(t)dt,所以求原函数是一种极限过程。先求原函数得x^(a+1)/(a+1)再求极限（a->-1）得x^0/0 ，是一个形式没有意义的函数；先求极限得x^-1，再求原函数得ln|x|。两者不等，说明两种极限次序不能交换。这种极限是否可以交换，要有一定条件保证（如一致收敛），不是随便都可以交换的。你说的例子恰好不满足极限交换所需要的条件。

Answer 2

用定义计算一下，ln x的导数是什么就可以.你会发现他就是1/x，所以它的原函数是ln x+ C