Question

已知实数x、y、z满足3x+2y+2z=17,则x^2+y^2+z^2的最小值是( )

Answer 1

设x^2+y^2+z^2=t
由3x+2y+2z=17得：y+z=(17-3x)/2
又y^2+z^2=t-x^2可变得：yz=（17-3x)^2/8+(x^2-t)/2

y,z可以看成m^2-[(17-3x)/2]+（17-3x)^2/8+(x^2-t)/2=0的两根

于是由判别式>=0列式得：(17-3x)^2/4-4[（17-3x)^2/8+(x^2-t)/2]>=0
化简得：t>={17(x-3)^2+136}/8
当x=3时，t取得最小值t=136/8=17即是x^2+y^2+z^2的最小值是(17)

Answer 2

使用线性规划，特别简单

x=3,y=2,z=2(运算结果)
Object. min Z=x^2+y^2+z^2=17
s.t. 3x+2y+2z=17