Question

已知x,y,z都是正实数且x^2+y^2+z^2=12,求x^3+y^3+z^3最小值

最小值确实是24，但是最后一步是xyz≤8，所以x^3+y^3+z^3大于等于3xyz怎么能得到就大于等于24呢？

Answer 1

两次利用柯西不等式：

(x+y+z)^2≤(1+1+1)(x^2+y^2+z^2)=36
x+y+z≤6.

(x+y+z)(x^3+y^3+z^3)≥(x^2+y^2+z^2)^2
x^3+y^3+z^3≥(x^2+y^2+z^2)^2/(x+y+z)≥144/6=24.

Answer 2

x^2+y^2+z^2=12
∴12>=3倍3次根号x²y²z²
∴xyz<=8
x^3+y^3+z^3>=3xyz
∴最小值是24

Answer 3

24
拉格朗日乘数法

Answer 4

1024