Question

数列 已知函数f(x)=2^x-2^(-x),数列{an}满足f(log2 an)=-2n.

已知函数f(x)=2^x-2^(-x),数列{an}满足f(log2 an)=-2n.
(1)求数列{an}的通项公式。
(2)证明：数列{an}是递减数列。

Answer 1

(1)
f(log2 an) = -2n
=> 2^(log2 an)-2^(-(log2 an)) = -2n
=> an - 1/an = -2n
=> an^2 +2*n*an -1 = 0
=> an = -n+sqrt(n^2+1) 或 an = -n-sqrt(n^2+1)
由于题目中有 logx an，所以an>0，所以只能取前一个
an = -n+sqrt(n^2+1)

(2)
an = -n+sqrt(n^2+1)
ln(an) = ln[sqrt(n^2+1)-n]
= ln{[sqrt(n^2+1)-n][sqrt(n^2+1)+n]/[sqrt(n^2+1)+n]}
= ln{1/[sqrt(n^2+1)+n]}
= -ln[sqrt(n^2+1)+n]
n增大，-ln[sqrt(n^2+1)+n]减小
即ln(an)是n的递减函数
又因为ln(x)是递增函数
所以必然有an是n的递减函数