Question

难题，求大神解答

Answer 1

大神来了

证明：延长AM到F，使MF=AM，交CD于点N，
∵BM=EM，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴BF=AE，∠ABF+∠BAE=180°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAD+∠BAE=180°，
∴∠ABF=∠CAD，
∵BF=AE，AD=AE，
∴BF=AD，
在△ABF和△CAD中，

BF=AD∠ABF=∠CADAB=AC    

，
∴△ABF≌△CAD（SAS），
∴∠BAF=∠ACD，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF+∠CAN=90°，
∴∠ACD+∠CAN=90°，
∴∠ANC=90°，
∴AM⊥CD．

追问

大神，你可以不利用平行四边形，用其他方法来求证吗？

追答

解析法吧
以A点为原点,AC为x轴正半轴,AB为y轴负半轴建立平面直角坐标系.∵△AEC≌△ADB
设E(m,n),C(r,0),则：
D(n,-m),B(0,-r),M( m/2,(n-r)/2 ),
∴直线DC的斜率为m/(r-h)
直线AM的斜率为(n-r)/m
∴两直线的斜率之积为-1
∴AM⊥DC

追问

谢谢