Question

线性代数的一道题，大家帮我看看怎么写，步骤要详细点，谢谢！

线性代数的一道题，大家帮我看看怎么写，步骤要详细点！

Answer 1

由定理r(A) + r(B) <= r(AB) + n得
r(A)+r(B) <=3 显然r(A)只能等于1, 所以a=-1,b=1,c=-4
计算可得A^2 =(-3)A
所以A^n =(-3)A^(n-1)=...=(-3)^n-1 A

Answer 2

证明：用b,Ab,A^2b表示题目的向量
设常数k1,k2,k3使k1b+k2Ab+k3A^2b=0 (1)
两边乘以A^2得k1A^2b=0,由于A^2b≠0推知k1=0代入（1）得
k2Ab+k3A^2b=0 (2)
(2)两边乘以A得k2A^2b=0推知k2=0代入（2）得
k3A^2b=0推知k3=0
所以k1=k2=k3=0，即b,Ab,A^2b线性无关
证毕！

追问

什么意思？没看懂，求An啊？

Answer 3

BA=0，根据线性方程性质，r(A)=3-r(B)=1
所以a/1 = -2/2 = b/-1, 2/1 = c/2

a=-1, b=1,c=4
因此矩阵A的特征值为0,0,1

因此存在可逆矩阵P使得A=P'diag(1,0,0)P, P'为P的逆
A^n = P'diag(1,0,0)P *P'diag(1,0,0)P...*P'diag(1,0,0)P
=P'diag(1,0,0)P=A