Question

证明三角形中，如果(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2<2,则三角形ABC为钝角三角形。

Answer 1

将〈右侧变形，变为(sinA)^2+(cosA)^2+(sinB)^2+(cosB)^2，
左右就可以把(sinA)^2，(sinB)^2两项消掉，
则为
(sinc)^2<(cosA)^2+(cosB)^2
(sinc)^2=[sin(A+B)]^2<(cosA)^2+(cosB)^2
展开
（sinAcosB+cosAsinB）^2<(cosA)^2+(cosB)^2
有
（sinA）^2(cosB)^2+2sinAcosBcosAsinB+(cosA)^2(sinB)^2<(cosA)^2+(cosB)^2
把（sinA）^2(cosB)^2和(cosB)^2，（cosA)^2(sinB)^2和(cosA)^2进行合并，则有
（cosB）^2(cosA)^2+(cosA)^2（cosB）^2>2sinAcosBcosAsinB+(cosA)^2(sinB)^2
最终结果为
cosAcosBcos(A+B)>0
所以有A是钝角或B是钝角,或,A,B,A+B为锐角〈90度，
那么C就大于90度是钝角。

所以, 三角形ABC为钝角三角形。

Answer 2

证明：
∵A+B+C=180°∴C=180°-(A+B),
∴(sinA)^2+(sinB)^2+(sinB)^2=3-[(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2].
又(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=(1+cos2A)/2+(1+cos2B)/2+(cosC)^2
=[(cos2A+cos2B)/2]+(cosC)^2+1
=cos(A+B)*cos(A-B)+[cos(A+B)]^2+1
=cos(A+B)*[cos(A+B)+cos(A-B)]+1
=-2cosAcosBcosC+1.
∴(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=3-(-2cosAcosBcosC+1)
=2cosAcosBcosC+2.
又(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2<2
∴2cosAcosBcosC+2<2
∴cosAcosBcosC<0
即A,B,C中有且仅有一个角为钝角
∴三角形ABC为钝角三角形

Answer 3

∵A+B+C=180°∴C=180°-(A+B),
∴(sinA)^2+(sinB)^2+(sinB)^2=3-[(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2].
又(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=(1+cos2A)/2+(1+cos2B)/2+(cosC)^2
=[(cos2A+cos2B)/2]+(cosC)^2+1
=cos(A+B)*cos(A-B)+[cos(A+B)]^2+1
=cos(A+B)*[cos(A+B)+cos(A-B)]+1
=-2cosAcosBcosC+1.
∴(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=3-(-2cosAcosBcosC+1)
=2cosAcosBcosC+2.
又(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2<2
∴2cosAcosBcosC+2<2
∴cosAcosBcosC<0
∴三角形ABC为钝角三角形

Answer 4

参考以下图片

Answer 5

将〈右侧变形，变为(sinA)^2+(cosA)^2+(sinB)^2+(cosB)^2，
左右就可以把(sinA)^2，(sinB)^2两项消掉，
则为
(sinc)^2<(cosA)^2+(cosB)^2
(sinc)^2=[sin(A+B)]^2<(cosA)^2+(cosB)^2
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（sinAcosB+cosAsinB）^2<(cosA)^2+(cosB)^2
有
（sinA）^2(cosB)^2+2sinAcosBcosAsinB+(cosA)^2(sinB)^2<(cosA)^2+(cosB)^2
把（sinA）^2(cosB)^2和(cosB)^2，（cosA)^2(sinB)^2和(cosA)^2进行合并，则有
（cosB）^2(cosA)^2+(cosA)^2（cosB）^2>2sinAcosBcosAsinB+(cosA)^2(sinB)^2
最终结果为
cosAcosBcos(A+B)>0
所以有A是钝角或B是钝角,或,A,B,A+B为锐角〈90度，
那么C就大于90度是钝角。
所以,
三角形ABC为钝角三角形。