Question

若x表示一个有理数,则|x+2|+|x+5|+|x-3|+|x-5|值最小时,整数x等于多少？

Answer 1

解法之一如下：
因为
|x+2|+|x-3|≥|(x+2)-(x-3)|＝5，
当且仅当-2≤x≤3时等号成立，
|x+5|+|x-5|≥|(x+5)-(x-5)|＝10，
当且仅当-5≤x≤5时等号成立，
所以，当且仅当-2≤x≤3时上述两个不等式的等号同时成立，即此时|x+2|+|x+5|+|x-3|+|x-5|的值最小，所以所求整数x等于-2或-1或0或1或2或3.

Answer 2

|x+2|+|x+5|+|x-3|+|x-5|
={4x-1,x≥5;
{2x+9,3≤x<5;
{15,-2≤x<3;
{11-2x,-5≤x<-2;
{1-4x,x<-5.
当-2≤x≤3时它取最小值15，整数x=-2,-1,0,1,2,3.