Question

已知关于x的不等式|x-1|+|x+a|≤8的解集不是空集，则a的最小值是 ．

已知关于x的不等式|x-1|+|x+a|≤8的解集不是空集，则a的最小值是 ．

Answer 1

分析：用函数法求解，先令y=|x-1|+|x+a|，再由“不等式|x-1|+|x+a|≤8的解集不是空集”可知不等式有解，则需“8≥函数y的最小值”，用绝对值定理求得最小值，则有|a-1|≤8求解即可．
解答：解：令y=|x-1|+|x+a|
∵不等式|x-1|+|x+a|≤8的解集不是空集
∴8≥函数y的最小值，
又∵y=|x-1|+|x+a|≥|x-1-（x+a）|=|a+1|
∴|a+1|≤8
∴-9≤a≤7
∴a的最小值是-9
故答案为：-9．
点评：本题主要考查不等式有解问题，要与恒成立问题区别开来，如：若f（x）＞a有解，则需a＜f（x）的最大值，若f（x）＞a恒成立，则需a＜f（x）的最小值．