Question

△ABC在中∠A=90°,AB=AC,M是AC边的中点,AD⊥BM交BC于D,交BM于E,CF//AB交AD延长线与点F求证BC垂直平分MF

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Answer 1

证明：
∵∠A=90°
∴∠ABM+∠AMB=90°
∵CF∥AB
∴∠ACF=90°
∴∠FCD=∠ACF-∠MCD=45°
∵AE⊥BM
∴∠EAM+∠AMB=90°
∠EAM=∠ABM
∵∠BAM=∠ACF=90°
BA=AC
∴△BAM≌△ACF
∴CM=CF
∴△CMF是等腰三角形
且CD是其顶角的角平分线
根据三线合一
BC垂直平分MF
证毕

Answer 2

易证三角形ABM全等于三角形CAF
所以CF=CM 即三角形MCF为等腰三角形
所以三角形MCF是等腰直角三角形
又因为三角形ABC是等腰直角三角形
所以角ACB等于角BCF等于45度
所以BC为等腰三角形MCF的角平分线
所以BC垂直平分MF