Question

已知函数f(x)=√3sin2x-2cos^2x-1,x∈R(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值

（2）在△ABC中，A,B,C的对边分别是a,b,c,已知c=√3，f(C)=0，sinB=2sinA,求a,b的值

Answer 1

解：
(1)
f(x)=√3sin(2x)-2cos²x-1
=√3sin(2x)-[cos(2x)+1]-1
=√3sin(2x)-cos(2x)-2
=2[(√3/2)sin(2x)-(1/2)cos(2x)]-2
=2sin(2x-π/6) -2
最小正周期T=2π/2=π
当sin(2x-π/6)=-1时，f(x)有最小值f(x) min=-2-2=-4
(2)
f(C)=0
2sin(2C-π/6)-2=0
sin(2C-π/6)=1
C为三角形内角，2C-π/6=π/2
C=π/3
sinB=2sinA
由正弦定理得b=2a
c=√3，由余弦定理得
cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)
=[a²+(2a)²-(√3)²]/[2a(2a)]
=(5a²-3)/(4a²)
cosC=cos(π/3)=1/2
(5a²-3)/(4a²)=1/2
a²=1
a为三角形边长，a>0
a=1
b=2a=2×1=2
a=1 b=2