Question

圆中的有关计算和证明

详细答案

Answer 1

一、知识要点概述1、与圆有关的概念　　（1）圆可以看做是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，它是以圆心为对称中心的中心对称图形，又是以每一条直径所在的直线为对称轴的轴对称图形．不在同一直线上的三点确定一个圆．　　（2）圆中的弦、弧、弦心距、同心圆、等圆、等弧等概念．2、与圆有关的角　　（1）圆心角与圆周角的概念、弦切角的概念．　　（2）在同圆（或等圆中）同弧（或等弧）所对的圆周角是它所对圆心角的一半．　　（3）弦切角等于它夹弧所对的圆周角．　　（4）圆周角定理及其推论3、圆的对称性　　（1）圆的轴对称性（垂径定理）：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；弦的中垂线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．　　（2）圆的旋转对称性：在同圆或等圆中，有如下相等关系：　　等弦等弧等弦心距等圆心角4、圆的两条平行弦所夹的弧相等．5、圆内接四边形对角互补，任何一个外角都等于它的内对角；圆外切四边形的两组对边之和相等．6、如果弧长为l，圆心角的度数为n°，弧所在的圆的半径为r，那么弧长的计算公式为，圆周长C=2πr．7、设扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，扇形面积为S，则扇形的面积计算公式为：．8、圆柱的侧面展开图是矩形，设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，则圆柱的侧面积S=2πrh，圆柱的全面积为S=2πr2＋2πrh．9、圆锥的侧面展形图是扇形，设圆锥的底面半径为r，母线长为a，则圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为．二、典例剖析例1、如图，在⊙O中，过圆周上一点A作弦AB和AC且AB=AC．M和N分别为弦AB及AC的中点，连结M和N并向两方向延长交圆于P和Q两点．　　　求证：PM=NQ．分析：　　欲证PM=NQ，因为PQ为弦，容易联想到作弦心距OH，则PH=HQ．现只要证MH=HN即可．又M、N分别为弦AB、AC的中点，易知OM=ON，故原结论可证．证明：作OH⊥PQ于H，则PH=HQ．　　　连结OM、ON，　　　∵M、N分别是弦AB、AC的中点，　　　∴OM⊥AB，ON⊥AC．　　　又∵AB=AC，∴OM=ON．　　　又∵OH⊥MN，∴MH=HN，　　　∴PM=NQ．例2、如图，△ABC内接于⊙O，弦CM⊥AB，CN是直径，F是的中点．　　　求证：（1）CF平分∠NCM；　　　　　　（2）．分析：　　（1）欲证∠1=∠2，应设法转化．因为AB为弦，F为的中点，不难想到连结OF，则OF//CM，∠OFC=∠2．而∠OFC=∠1，∴∠1=∠2．　　（2）欲证，只需证，即证∠NOF=∠MOF即可．　　由OF//CM，只要证∠OCM=∠OMC就行．证明：（1）连结OF．　　　　　　∵F为的中点，　　　　　　∴OF⊥AB．　　　　　　又CM⊥AB，　　　　　　∴OF//CM，∴∠OFC=∠2．　　　　　　又OC=OF，∴∠OFC=∠1，　　　　　　∴∠1=∠2，即CF平分∠NCM．　　　（2）连结OM，则∠OMC=∠MCO．　　　　　　∵OF//CM，∴∠NOF=∠MCO，∠FOM=∠OMC，　　　　　　∴∠NOF=∠FOM，　　　　　　例3、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160米．假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，那么学校受影响的时间为多少秒？（拖拉机的速度为18千米/时）分析：　　学校受噪声影响的条件是拖拉机在行驶的过程中距点A的距离小于100米，所以以A为圆心，以100米为半径作⊙A．若⊙A与MN有交点，则学校受到噪声影响．若⊙A与MN无交点，则学校不受噪声影响．解：如图，过A点作AB⊥MN于B．　　在Rt△PAB中，∠QPN=30°，PA=160米，　　∴AB=PAsin30°=80米<100米，　　∴学校受噪声影响．　　以点A为圆心，以100米为半径作⊙A交MN于C、D两点．　　连结AC，则，　　∴CD=120米．　　又拖拉机的速度为，　　故学校受噪声影响的时间为．例4、如图，⊙O的内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，OE⊥BC于E．求证：．分析：　　设法构造2OE，能证它与AD相等即可．由O为圆心，OE为弦心距，不难知BF=2OE．再证BF=AD，即证AF//BD．证明：　　作直径CF，连结AF、BF．　　∵OE⊥BC，∴E为BC的中点．　　又∵CF为直径，O为圆心，　　∴（三角形中位线定理）．　　∵CF为直径，∴∠CAF=90°，即FA⊥AC．　　又∵AC⊥BD，∴FA//BD，　　∴∠FAB=∠ABD，　　∴，BF=AD，　　∴．例5、如图，⊙O的半径为12cm，以⊙O的半径OA为直径作⊙O′交半径OC于B点．若∠AOC=45°，求围成的阴影图形的面积．解：连结AB，则∠ABO=90°．　　∵∠AOB=45°，∴，S弓形AB=S弓形OB．　　由OA=12cm知S△ABO=36cm2，　　例6、如图，⊙O与⊙O′外切于点M，AB、CD是它们的外公切线，O′E⊥OA，垂足为E，且∠AOC=120°．　　(1)求证：⊙O′的周长等于的弧长；　　(2)若⊙O′的半径为1cm，求图中阴影部分的面积．解：（1）证明如下：　　　　由已知得∠AOO′=60°，四边形ABO′O为直角梯形，　　　　设⊙O和⊙O′的半径分别为R、r，　　　　例7、一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆．求：　　（1）圆锥的母线与底面半径之比；　　（2）锥角的大小；　　（3）圆锥的表面积．解：　　如图，AO为圆锥的高h，经过AO的剖面是等腰△ABC，则AB为圆锥的母线l，BO为底面半径r．　　（1）∵圆锥的侧面展开图是半圆，　　∴2πr=πl，即．　　（2）∵，即AB=2OB，　　∴∠BAO=30°，∴∠BAC=60°，　　即锥角为60°．　　（3）在Rt△AOB中，l2=h2＋r2．　　又∵l=2r，，　　∴r=3cm，l=6cm，　　∴S表=S侧＋S底=πrl＋πr2=3×6π＋32π=27π(cm2)．例8、如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AC=2a，BC=b，以直线AB为轴旋转一周得到一个几何体．求这个几何体的表面积．分析：　　解本题的关键是要想象出旋转后的空间图形．过C作CO⊥AB于O，∵AC=2a，∠A=30°，∴CO=a．显然以直线AB为轴旋转一周得到的几何体是底面重合的两个圆锥，其底面半径为OC，所以这个几何体的表面积S是两个圆锥的侧面积S1与S2的和．解：过C作CO⊥AB于O．　　因为AC=2a，∠A=30°，　　所以CO=a，　　∴S1=·2a·2πa=2πa2，　　S2=·b·2πa=πab，　　故S=S1＋S2=2πa2＋πab=πa(2a＋b)．