Question

高中数学选修4-4极坐标问题

设P、Q是双曲线x²/a²-y²/b²=1（0＜a＜b）上的两点，若OP⊥OQ，求证1/▏OP▏²+1/▏OQ▏²为定值

Answer 1

你好

设OP所在的直线方程为y=kx，
x²/a²-（kx）²/b²=1

x²（1/a²-k²/b²）=1
x²=a²b²/（b²-k²a²）
则y²=k²x²=k²a²b²/（b²-k²a²）
OP²=x²+y²=（k²+1）a²b²/（b²-k²a²）
OP⊥OQ，则OQ所在的直线方程为y=-x/k
x²/a²-x²/k²b²=1
x²=k²a²b²/（k²b²-a²）
y²=x²/k²=a²b²/（k²b²-a²）
OQ²=x²+y²=（k²+1）a²b²/（k²b²-a²）
1/▏OP▏²+1/▏OQ▏²

=（b²-k²a²）/（k²+1）a²b²+（k²b²-a²）/（k²+1）a²b²
=（b²-k²a²+k²b²-a²）/（k²+1）a²b²
=（k²+1）（b²-a²）/（k²+1）a²b²
=（b²-a²）/a²b²
与k无关，1/▏OP▏²+1/▏OQ▏²为定值

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