Question

如图，四边形abcd中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，NB平分∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD。

连接MF，NF。
（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论。
（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由。

Answer 1

(1)三角形BMN是等腰直角三角形
证明：因为M是AC的中点
所以MB=MC=1/2BC
AM是三角形ABC的中线
因为AB=AC
所以三角形ABC是等腰三角形
所以AM是等腰三角形ABC的中线，垂线，角平分线
所以角AMB=角AMC=90度
角CAM=角BAM
因为角AMC+角CAM+角ACM=180度
所以角CAM+角ACM=90度
因为AC垂直BD于E
所以角BEC=90度
因为角BEC+角ACM+角CBM=180度
所以角ACM+角CBE=90度
所以角CAM=角CBE
所以角BAM=角CBE
因为BN平分角ABE
所以角ABN=角EBN
因为角MNB=角BAM+角ABN
角MBN=角EBN+角CBE
所以角MNB=角MBN
所以MN=MB
所以三角形BMN是等腰三角形
因为角AMB=90度（已证）
所以三角形BMN是等腰直角三角形
（2）三角形FMN和三角形BDC相似
证明：因为角AMB=90度（已证）
所以三角形AMB是直角三角形
因为F是AB的中点
所以MF是直角三角形AMB的中线
所以AF=MF=1/2AB
所以角BAM=角AMF
因为角BAM=角CBE（已证）
所以角AMF=角CBE
因为AB=AC=BD
所以MF=1/2BD
因为MB=MC=1/2BC（已在）
MN=MB
所以MN=1/2BC
所以三角形FMN和三角形BDC相似