如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E,AB=BD,∠BCA=∠BDA,过B作BM⊥AC于M
（2）当∠BDC=30°时，请直接写出MC、DC、BM的数量关系；
（3）在（1） 的条件下，如图3，作∠ACD的角平分线，交AD边于点G，连接BG，若tan∠ACD=3/4，AB=5，求tan∠GBD的值 展开
(1)证明:∵∠BCA=∠BDA;∠BEC=∠AED.
∴⊿BCE∽⊿ADE,BE/AE=CE/DE;
又∠BEA=∠CED.
∴⊿BEA∽⊿CED,∠BAE=∠CDE=45°.
作BN⊥DC的延长线于N,又BM⊥AC,AB=DB,则:⊿ABM≌⊿DBN.
∴AM=DN,BM=BN.又BC=BC,则Rt⊿BMC≌Rt⊿BNC(HL),MC=NC.
故MC+DC=NC+DC=DN=AM=BM.
(2)当∠BDC=30°时,MC+DC=√3BM.
略证:作BN垂直DC的延长线于N,同理可证:⊿BEA∽⊿CED,∠BAE=∠CDE=30°.
BM⊥AC,则AB=2BM,AM=√(AB² -BM²)=√3BM.
同理,由⊿ABM≌⊿DBN得BM=BN;又BC=BC,则Rt⊿BMC≌Rt⊿BNC(HL),MC=NC.
∵ AB=BD;∠BAE=∠CDE=30°;∠AMB=∠DNB=90°.
∴⊿AMB≌⊿DNB,则DN=AM,即NC+DC=MC+DC=AM=√3BM.(等量代换)
(3)解:作AF⊥BD于F,GK⊥BD于K,BH⊥AD于H.
∵⊿BEA∽⊿CED,∠ABE=∠ACD.
∴tan∠ACD=tan∠ABE=AF/BF=3/4,又AB=5,则AF=3,BF=4,DF=1,AD=√10.
AH=AD/2=√10/2,BH=√(AB²-AH²)=3√10/2.
∵∠ABM=∠DBN=45°.
则:BN=BM=(√2/2)AB=5√2/2;∠ABD=∠MBN;又BH平分∠ABD,BC平分∠MBN.
∴∠ABH=∠NBC,tan∠ABH=tan∠NBC,AH/BH=CN/BN.
即(√10/2)/(3√10/2)=CN/(5√2/2),CN=5√2/6=CM.
∴AC=AM+CM=10√2/3,CD=DN-CN=5√2/2-5√2/6=5√2/3.
∵ CG平分∠ACD,则点G到AC和CD的距离相等.
∴S⊿ACG/S⊿CDG=AC/CD=AG/DG,即(10√2/3)/(5√2/3)=AG/DG,AG/DG=2.
AF平行GK,则⊿DGK∽⊿DAF,GK/AF=DG/DA,GK/3=1/3,GK=1.
同理相似可求DK=(1/3)DF=1/3,FK=DF-DK=2/3,BK=BF+FK=4+2/3=14/3.
∴tan∠GBD=GK/BK=1/(14/3)=3/14.
由∠BCA=∠BDA可知，A、B、C、D共圆。
所以∠BAC=∠BDC。
又因为AB=BD，
所以三角形ABF和三角形DBC中：
{AB=DB
{∠BAC=∠BDC
{AF=DC
所以三角形ABF与三角形DBC全等
所以BC=BF
所以三角形BCF为等腰三角形
又因为BM⊥AC，等腰三角形三线合一
所以BM为三角形BCF的中线
所以CM=MF
所以CD+CM=AF+MF=AM
又因为∠ABM=∠BDC=45°，（CD+CM）/BM=AM/BM=tan(∠ABM)
所以（CD+CM）/BM=tan(45°)=1
所以CD+CM=BM
（2）由（1）可知（CD+CM）/BM=AM/BM=tan(∠ABM)
又因为∠ABM=∠BDC=30°
所以（CD+CM）/BM=√3
所以CD+CM=√3BM
（3）作出ABCD所在的圆，圆O；延长CG和BG分别交圆O于H、I；连接BH交AD于J
因为同弧所圆周角相等，CH平分∠ACD
所以∠ABH=∠DBH =∠DCH =∠ACH =1/2(∠ACD)=1/2(∠ABD)，∠DAH=∠DBH
所以BH平分∠ABD
又因为AB=BD
所以三角形ABD为等腰三角形
又因为等腰三角形三线合一
所以BH⊥AD
又因为AD为圆O的一条弦
所以BH为圆O的直径
所以∠DIH=∠DCH=90°
又因为tan2α=2tanα/(1-tanα^2)，tan(∠ABH)= tan[1/2（∠ABD）]
所以tan(∠ABD)= 2 tan(∠ABH)/[1- tan(∠ABH)^2]=3/4
所以tan(∠ABH)=1/3
所以cos(∠ABH)=(3√10)/10
又因为AB=5
所以AH=5/3，BJ=(3√10)/2
所以BH=(5√10)/3，HJ=BH-BJ=(√10)/6
又因为∠BHC=∠BDC=45°，BH⊥AD
所以GJ=tan(∠BHC)*HJ=tan(45°)*HJ=(√10)/6
又因为tan(∠GBD)=GJ/BJ
所以tan(∠GBD)=1/9
