Question

已知关于x的方程2x^2+(2k-3)x-k^2=0有两个实根x1和x2.

已知关于x的方程2x^2+(2k-3)x-k^2=0有两个实根x1和x2. (1)是否存在常数k，使得x1,x2满足x1/x2=2?如果存在，试求出满足条件的k值;如果不存在，请说明理由; (2)是否存在常数k，使得x1,x2满足|x1/x2|=2?如果存在，试求出满足条件的k值;如果不存在，请说明理由;

Answer 1

已知关于x的方程2x^2+(2k-3)x-k^2=0有两个实根x1和x2.
(1)是否存在常数k，使得x1,x2满足x1/x2=2?如果存在，试求出满足条件的k值;如果不存在，请说明理由;
根据“韦达定理”得:
x1+x2=-(2k-3)/2=(3-2k)/2
x1x2=-k^2/2
x1/x2=2,即x1=2x2,代入x1x2=-k^2/2:
2x2^2=-k^2/2>=0,那么k=0
代入原方程是:2x^2-3x=0
解得x1=0,x2=3/2
不符x1/x2=2，故说明不存在。
(2)是否存在常数k，使得x1,x2满足|x1/x2|=2?如果存在，试求出满足条件的k值;如果不存在，请说明理由;
|x1/x2|=2
|x1|=|2x2|
(i)x1=2x2
同上，不存在。
(ii)x1=-2x2
x1x2=-2x2^2=-k^2/2
k^2=4x2^2
x1+x2=-x2=(3-2k)/2
k^2=4*(3-2k)^2/4
k^2=(3-2k)^2
k=3-2k,或k=-(3-2k)
k=1或k=3
k=+1.代入原方程:2x^2-x-1=0,方程有解。x1=1,x2=-1/2
k=3
代入，2x^2+3x-9=0,解得:x1=-3.x2=3/2
符合题意，故存在。