Question

已知tanα，cotα是关于X的方程2x^2-2kx=3-k^2的两个实根，π＜α＜5π/4，求cosα-sinα的值

Answer 1

∵tanα，cotα是关于X的方程2x²-2kx+k²-3=0的两个实根
∴方程判别式△=4k²-4×2×(k²-3)＞0
解得-√6＜k＜√6………………①
x1×x2=c/a=(k²-3)/2=1，
解得k=±√5………………②
再由π＜α＜5π/4知cotα＞tanα＞0
∴x1＋x2=cotα+tanα=-(-2k)/2＞0，
于是k＞0………………③
由①②③得：k=√5
cotα+tanα=cosα/sinα+sinα/cosα=(sin²α+cos²α)/(sinαcosα)=1/(sinαcosα)
而cotα+tanα=x1＋x2=-(-2k)/2=√5
∴sinαcosα=1/(√5)
(cosα-sinα)²=cos²α+sin²α-2cosαsinα=1-2/(√5)
对于π＜α＜5π/4，有cosα＜sinα＜0
∴cosα-sinα＜0，cosα-sinα=-√[1-2/(√5)]