Question

已知：如图，DABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P

已知：如图，DABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD． （1）求证：AP=PD；（2）请判断A，D，F三点是否在以P为圆心，以PD为半径的圆上？并说明理由；（3）连接CD，若CD﹦3，BD ﹦4，求⊙O的半径和DE的长．

Answer 1

（1）见解析（2）见解析（3）见解析

试题分析：（1）利用等弧对等弦即可证明． （2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上． （3）利用等弧所对的弦相等，得出AD的长度，再根据勾股定理得出AB的长度，然后得出园的半径，再根据相似直角三角形对应对成比例竿出DE的长度. 解：(1）∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA   ∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，∴∠DAC＝∠CBD  ∴ ∠DAC ＝∠DBA       ∵AB为直径，   ∴∠ADB＝90°  又∵DE⊥AB于点E，∴∠DEB＝90°  ∴∠ADE +∠EDB＝∠ABD +∠EDB＝90° ∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP  ∴PD＝PA     ………………………………………………4分 (2）A，D，F三点在以P为圆心，以PD为半径的圆上 ∵∠DFA +∠DAC＝∠ADE +∠PD F＝90°且∠ADE＝∠DAC ∴∠PDF＝∠PFD                     ∴PD＝PF  ∴PA＝PD= PF  即 A，D，F三点在以P为圆心，以PD为半径的圆上…………….8分 （3）⊙O的半径是2.5；DE的长是2.4 点评：本题主要考查等弧对等弦，及确定一个圆的条件，此类题是中考的常考题，需要同学们牢固掌握．