Question

（2014?漳州模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，BC=

（2014?漳州模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，BC=12AD=1，PD=CD=2，Q为AD的中点．（Ⅰ）若点M在棱PC上，设PM=tMC，是否存在实数t，使得PA∥平面BMQ，若存在，给出证明并求t的值，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P-BMQ的体积．

Answer 1

解：（Ⅰ）存在t=1使得PA∥平面BMQ，理由如下：
连接AC交BQ于N，连接MN，
因为∠ADC=90°，Q为AD的中点
所以N为AC的中点
当M为棱PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线
故MN∥PA，
又MN?平面BMQ
所以PA∥平面BMQ
（（Ⅱ））由（Ⅰ）可知，PA∥平面BMQ
所以，P到平面BMQ的距离等于A到平面BMQ的距离
所以V_P-BMQ=V_M-ABQ．
取CD中点K，连接MK，所以MK∥PD且MK=

1

2

PD=1
又PA⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD
又BC=

1

2

AD=1，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2
所以V_P-BMQ=V_M-ABQ=

1

3

?

1

2

AQ?BQ?MK=

1

3

．