Question

（2014?石家庄模拟）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，BC∥AD，PA=PD，O，E分别

（2014?石家庄模拟）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，BC∥AD，PA=PD，O，E分别为AD，PC的中点，PO=AD=2BC=2CD．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求二面角A-PC-O的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：设BD∩OC=F，连接EF，
∵E、F分别是PC、OC的中点，则EF∥PO，…（1分）
∵CD⊥平面PAD，CD?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，
又PA=PD，O为AD的中点，则PO⊥AD，
∵平面ABCD∩平面PAFD=AD，∴PO⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD，
又AB?平面ABCD，∴AB⊥EF，…（3分）
在△ABD中，AB²+BD²=AD²，AB⊥BD，
又EF∩BD=F，∴AB⊥平面BED，
又DE?平面BED，∴AB⊥DE．…（6分）
（Ⅱ）解：在平面ABCD内过点A作AH⊥CO交CO的延长线于H，
连接HE，AE，
∵PO⊥平面ABCD，∴POC⊥平面ABCD，
平面POC∩平面ABCD=AH，∴AH⊥平面POC，
PC?平面POC，∴AH⊥PC．
在△APC中，AP=AC，E是PC中点，∴AE⊥PC，
∴PC⊥平面AHE，则PC⊥HE．
∴∠AEH是二面角A-PC-O的平面角．…（10分）
设PO=AD=2BC=2CD=2，
而AE²=AC²-EC²，
AE=

14

2

，AH=

2

2

，则sin∠AEH=

7

7

，
∴二面角A-PC-O的余弦值为

42

7

．…（12分）