Question

（2013?松江区二模）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2

（2013?松江区二模）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过点A（0，1），B （4，3），
∴

c＝1 ?16+4b+c＝3

，销源粗
解得

b＝ 9 2 c＝1

，
所以裂掘，抛物线的函数解析式为y=-x²+

9

2

x+1；

（2）如图，过点B作BC⊥x轴于C，过点A作AD⊥OB于D，
∵A（0，1），B （4，3），
∴OA=1，OC=4，BC=3，
根据勾股定理，OB=

OC2+BC2

=

42+32

=5，
∵∠OAD+∠AOD=90°，∠AOD+∠BOC=90°，
∴∠OAD=∠BOC，
又∵∠ADO=∠OCB=90°，
∴△AOD∽△OBC，
∴

OA

OB

=

OD

BC

=

AD

OC

，
即

1

5

=

OD

3

=

AD

4

，
解得OD=

3

5

，AD=

4

5

，
∴BD=OB-OD=5-

3

5

=

22

5

，
∴tan∠ABO=

AD

BD

=

4 5

22 5

=

2

11

；

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0，亏镇k、b是常数），
则

b＝1 4k+b＝3

，
解得

k＝ 1 2 b＝1

，
所以，直线AB的解析式为y=

1

2

x+1，
设点M（a，-a²+

9

2

a+1），N（a，

1

2

a+1），
则MN=-a²+

9

2

a+1-

1

2

a-1=-a²+4a，
∵四边形MNCB为平行四边形，
∴MN=BC，
∴-a²+4a=3，
整理得，a²-4a+3=0，
解得a₁=1，a₂=3，
∵MN在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线x=-

9 2

2×(?1)

=

9

4

，
∴a=1，
∴-1²+

9

2

×1+1=

9

2

，
∴点M的坐标为（1，

9

2

）．