Question

已知二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），f（0）=3；方程f（x）=0有两个实根，且两实根的平方和为10．

已知二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），f（0）=3；方程f（x）=0有两个实根，且两实根的平方和为10．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）-2m=0在区间[0，3]内有根，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由题意可得：设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2-x），
则其对称轴为2，即-

b

2a

=2，
方程ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，
所以

x

2 1

+

x

2 2

＝(x1+x2)2?2x1x2＝(?

b

a

)2?2×

c

a

根据题意可得：

? b 2a ＝2 c＝3 ( b a )2? 2c a ＝10

?

a＝1 b＝?4 c＝3

所以函数的解析式为f（x）=x²-4x+3．
（2）根据二次函数的性质可得：f（x）在（0，2）为减函数，（2，3）为增函数，
∴f（x）_min=f（2）=-1，f（x）_max=f（0）=3．
∴f（x）∈[-1，3]．
由f（x）=2m
所以-1≤2m≤3，即?

1

2

≤m≤

3

2

，
实数m的取值范围为?

1

2

≤m≤

3

2

．