Question

如图，已知CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD．（1）求证：点D在∠BAC的平分线上；（2）若把条件“

如图，已知CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD．（1）求证：点D在∠BAC的平分线上；（2）若把条件“BD=CD”与（1）中的结论交换位置，所得到的命题是真命题吗？请说明理由．

Answer 1

（1）证明：：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BDE和△CDF中，

∠BED＝∠CFD   ∠BDE＝∠CDF   BD＝CD

，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF，
又∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴D在∠BAC的平分线上；
（2）若把条件“BD=CD”与（1）中的结论交换位置，所得到的命题是真命题，理由如下：
∵点D在∠BAC的平分线上，CE⊥AB，BF⊥AC，
∴DE=EF，
在△BDE和△CDF中，

∠BED＝∠CFD   DE＝DF   ∠BDE＝∠CDF

，
∴△BDE≌△CDF（ASA），
∴BD=CD．