Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若|BA?

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若|BA?BC|=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

（I）根据正弦定理化简（2a-c）cosB=bcosC，得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB，
∴2sinAcosB=sin（C+B），即2sinAcosB=sinA，
∵sinA＞0，∴cosB=

1

2

，
又∵B∈（0，π），∴B=

π

3

；
（II）∵|

BA

-

BC

|=2，
∴|

CA

|=2，即b=2，
根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB，有4=a²+c²-ac，
∵a²+c²≥2ac（当且仅当a=c=2时取“=”号），
∴4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤4，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

，
则当a=b=c=2时，△ABC的面积的最大值为

3

．