Question

已知函数f(x)＝ax?bx?2lnx，f（1）=0（Ⅰ）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；（Ⅱ）

已知函数f(x)＝ax?bx?2lnx，f（1）=0（Ⅰ）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为0，且g(x)＝1(1?x)n+x?12?12x?2?12f(x?1)，（x≥2，n∈N*）证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有g（x）≤x-1．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
因为f（1）=0所以有a=b所以f(x)＝ax?

a

x

?2lnx，f/(x)＝a+

a

x2

?

2

x

＝

ax2?2x+a

x2

，
当a=0时，f/(x)＝?

2

x

＜0恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当a≠0时，若函数f（x）在其定义域内单调递增，则有f′（x）≥0恒成立即a≥

2x

x2+1

＝

2

x+ 1 x

，
因为x＞0所以a≥1且a=1时f′（x）不恒为0．
若函数f（x）在其定义域内单调递减，则有f′（x）≤0恒成立即a≤

2x

x2+1

，
因为x＞0所以a≤0，
综上，函数f（x）在定义域内单调时a的取值范围是a≤0或a≥1；
（2）因为函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为0，所以f′（1）=0，
即2a-2=0所以a=1，
所以f(x)＝x?

1

x

?2lnx，g(x)＝

1

(1?x)n

+ln(x?1)，
令h(x)＝g(x)?x＝

1

(1?x)n

+ln(x?1)?x，所以h/(x)＝n

1

(1?x)n+1

+

1

x?1

?1，
当n是偶数时n

1

(1?x)n+1

＜0，0＜

1

x?1

＜1，
所以h′（x）＜0即函数h（x）在[2，+∞）单调递减，
所以h（x）≤h（2）=-1，即g（x）≤x-1，
当n是奇数时，令T（x）=ln（x-1）-x则T/(x)＝

1

x?1

?1≤0
所以函数T（x）在[2，+∞）单调递减，所以T（x）≤T（2）=-2，
又因为x≥2时1-x＜0所以

1

(1?x)n

＜0，
所以h′（x）＜0即函数h（x）在[2，+∞）单调递减，
所以h（x）≤h（2）=-1，即g（x）≤x-1，
综上，对任意的正整数n，当x≥2时，有g（x）≤x-1．