Question

已知函数f(X)=ax-b/x-2lnx,f(1)=0 (1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求实数a的取值范围

(2)图象在 x=1处的切线的斜率为0，a(n+1)=f '(1/an+1)-nan +1若a1>=3,求证：an>=n+2
用数学归纳法证明

Answer 1

1
f(1)=a-b=0,a=b
∴f(X)=ax-a/x-2lnx
f'(X)=a+a/x^2-2/x=(ax^2-2x+a)/x^2
根据定义域,x≠0,
∴x^2≠0,
使(-2)^2-4a^2<0得
a>1或a<-1
2
f'(1)=2a-2=0
a=1
∴f(x)=x-1/x
a>1,∴函数f(x)在其定义域内为单调函数
f'(X)=1+1/x^2-2/x
=(x^2-2x+1)/x^2
=[(x-1)/x]^2
>0,为单调递增
f '(1/an+1)=[(1/an)·(an+1)]^2
=[1+1/an]^2
∴a(n+1)=f '(1/an+1)-nan +1
=[1+1/an]^2-nan +1>0
1/an^2+2/an-nan +2>0