Question

已知函数F（x）=X^2-2ax+a,x=【-1，1】 （1）若函数F（x）在定义域上不是单调函数，求实数a的取值范围；

（2)是否存在实数a，使函数F（x）的值域为【-2，2】？若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

F（x）=X^2-2ax+a,x=【-1，1】
=（x-a)²+a-a²
（1）若函数F（x）在定义域上不是单调函数
那么所在二次函数对称轴x=a在区间(-1,1)内
∴实数a的取值范围是(-1,1)
(2)
1)
a≤-1时，f(x)递增
f(x)min=f(-1)=1+3a=-2 ==>a=-1
f(x)max=f(1)=1-a=2 ==>a=-1
a=-1

2)值域为[-2,2]
-1<a≤0时，
f(x)min=f(a)=a-a²=-2
f(x)max=f(1)=1-a=2
不合题意
3)0<a<1时
f(x)min=f(a)=a-a²=-2 ==>a=2,或a=-1
f(x)max=f(-1)=1+3a=2==>a=1/3
无解
4）a≥1时，f(x)递减
f(x)min=f(1)=1-a=-2 ==>a=3
f(x)max=f(-1)=1+3a=2 ==>a=1/3
无解
综上，符合条件的a=-1

Answer 2

解：
（1）∵函数F（x）在定义域上不是单调函数且x∈【-1，1】
∴函数对称轴x=a中-1≤a≤1
∴-1≤a≤1
（2）若当x∈【-1，1】时，F（x）的值域为【-2，2】，则
情况1：F(-1)=-2，F(1)=2，此时a=-1
情况2：F(-1)=2，F(1)=-2，此时a不存在
∴a=-1