Question

已知函数f(x)=2x-a/x(a为实数)的定义域为(0,1】（a为实数） 证明它的单调性。

Answer 1

f(x)=2x-a/x(a为实数)的定义域为(0,1】（a为实数）
令0＜x1＜x2≤1
f(x2)-f(x1) = 【2x2-a/x2】-【2x1-a/x1】
= 2(x2-x1) + a(1/x1-1/x2)
= 2(x2-x1) + a(x2-x1)/(x1x2)
= (x2-x1)(2x1x2+a)/(x1x2)
∵x1＜x2，∴x2-x1＞0
∵0＜x1＜x2，∴x1x2＞0
∵0＜x1＜x2≤1，∴0＜x1x2＜1
当a≥0时，2x1x2+a＞0恒成立，此时f(x2)-f(x1)= (x2-x1)(2x1x2+a)/(x1x2)＞0，f(x)在(0,1】单调增；
当a≤-2时，2x1x2+a＜0恒成立，此时f(x2)-f(x1)= (x2-x1)(2x1x2+a)/(x1x2)＜0，f(x)在(0,1】单调减；
当-2＜a＜0时，f(x)在(0,1】非单调。

Answer 2

你的题设让人产生歧义，所以有两个答案
①f(x)=2x-a/x 设 m、n 是 定义域的两个根，且 0＜m＜n≤1
令f(m)-f(n)=2m-a/m - （2n-a/n ）=2(m-n)+a(1/n-1/m)=(m-n)(2+a/mn) ，可知m-n＜0 ；1/mn＞1
当a≥0时f(m)-f(n)＜0 即 f(m)＜f(n) 所以f（x）为单调递增
当a＜0时f(m)-f(n)=(m-n)(2+a/mn) 我做到这里不会做了，不好意思。仅供参考
②f(x)=(2x-a）/x=2 - ax
这个比较简单显然-1/X是单调递增的 只要讨论a就行了。

Answer 3

函数f(x)=2x-a/x,可看成是函数G（x）=2x,和K（x）=-a/x,相加复合而成，
G（x）=2x在定义区间内为增函数，
若a大于等于0，则K（x）=-a/x，在定义区间为常数或增函数，
所以增函数与常数或与增函数之和仍为增函数。
若a小于0，而大于-2时，时间有限，我暂时想不出。
若a大于等于-2时，为减函数。
现在我在想，是不是从函数求导数来研究它的单调性。