Question

已知函数f(x)=ax-b/x-2lnx,f(1)=0 (1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围

(2)若函数的图像在处的切线的斜率为0，且an+1=f`(1/an+1)-nan+1,若a1≥3，求证an≥n+2

Answer 1

1
f(1)=a-b=0,a=b
∴f(X)=ax-a/x-2lnx
f'(X)=a+a/x^2-2/x=(ax^2-2x+a)/x^2
根据定义域,x≠0,
∴x^2≠0,
使(-2)^2-4a^2<0得
a>1或a<-1

2
f'(1)=2a-2=0
a=1
∴f(x)=x-1/x
a>1,∴函数f(x)在其定义域内为单调函数
f'(X)=1+1/x^2-2/x
=(x^2-2x+1)/x^2
=[(x-1)/x]^2
>0,为单调递增
f '(1/an+1)=[(1/an)·(an+1)]^2
=[1+1/an]^2
∴a(n+1)=f '(1/an+1)-nan +1
=[1+1/an]^2-nan +1>0
1/an^2+2/an-nan +2>0

Answer 2

（1）根据f（1）=0求出b，b=a-2ln1=a
对f（x）求导函数。f（x）'=a+（b/x^2）+2/x
若f（x）为单调函数则其导函数大于零，即(ax^2-2x+b)/x^2>0,由于x恒大于零，所以ax^2-2x+b恒大于零，根据二次函数的性质，令g(x)=ax^2-2x+b,其图像必须开口向上，且与x轴没有交点。所以a>0,Δ<0.
i.a>0
ii.4-4ab<0
有上两个条件得出a^2-1>0,由于该方程的Δ=4>0,所以有实数解，因此a取值为两实数解的开区间，a∈(-∞，-1)∪(1，+∞),又因为a>0，所以a的最终取值范围为(1，+∞).
第二题题目不全