Question

已知函数 f(x)=ax- b x -2lnx，f(1)=0 ．（1）若函数f（x）在其定域义内为单调函数，求实数a的

已知函数 f(x)=ax- b x -2lnx，f(1)=0 ．（1）若函数f（x）在其定域义内为单调函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且 a n+1 =f′( 1 a n +1 )-n a n +1 ．①若a 1 ≥3，求证：a n ≥n+2；②若a 1 =4，试比较 1 1+ a 1 + 1 1+ a 2 +…+ 1 1+ a n 与 2 5 的大小，并说明你的理由．

Answer 1

（1）∵f（1）=a-b=0，∴a=b，∴ f(x)=ax- a x -2lnx ， ∴f′（x）=a+ a x 2 - 2 x ． 要使函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，则在（0，+∞）内f′（x）恒大于0或恒小于0， 当a=0时，f′（x）=- 2 x ＜0在（0，+∞）内恒成立； 当a＞0时，要使f′（x）=a（ 1 x - 1 a ） 2 +a- 1 a ＞0恒成立，则a- 1 a ＞0，解得a＞1， 当a＜0时，要使f′（x）=a（ 1 x - 1 a ） 2 +a- 1 a ＞＜0恒成立，则a- 1 a ＜0，解得a＜-1， 所以a的取值范围为a＞1或a＜-1或a=0． （2）①∵函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0， ∴f′（1）=0，即a+a-2=0，解得 a=1 ∴f′（x）=（ 1 x -1） 2 ，a n+1 =a n 2 -na n +1 下面用数学归纳法证明： （Ⅰ）当n=1，a 1 ≥3=1+2，不等式成立； （Ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即：a k ≥k+2，∴a k -k≥2＞0， ∴a k+1 =a k （a k -k ）+1≥2（k+2）+1=（ k+3）+k+2＞k+3 也就是说，当n=k+1时，a k+1 ≥（k+1）+2成立 根据（Ⅰ）（Ⅱ）对于所有n≥1，都有a n ≥n+2成立 ②由①得a n =a n-1 （a n-1 -2n+2）+1≥a n-1 [2（n-1）+2-2n+2]+1=2a n-1 +1， 于是a n+1 ≥2（a n-1 +1）（n≥2）， 所以a 2 +1≥2（a 1 +1），a 3 +1≥2（a 2 +1）…，a n+1 ≥2（a n-1 +1） 累乘得：a n+1 ≥2 n-1 （a 1 +1），则 1 1+ a n ≤ 1 2 n-1 ? 1 1+ a 1 （n≥2）， 所以 1 1+ a 1 + 1 1+ a 2 +…+ 1 1+ a n ≤ 1 1+ a 1 （1+ 1 2 +…+ 1 2 n-1 ）= 2 5 （1- 1 2 n ）＜ 2 5 ．