Question

已知函数f(x)=(1/2)*x2+ax+2blnx.（一）若b=1时，函数f(x)在(0,1)上不单调，求实数a的取值范围（二）若...

已知函数f(x)=(1/2)*x2+ax+2blnx.（一）若b=1时，函数f(x)在(0,1)上不单调，求实数a的取值范围（二）若函数f(x)在(0,m)和(n,正无穷)上为增函数，在(m,n)上为减函数(0<m<1,1<n<2),求b-a的取值范围

Answer 1

f'(x)=x+a+2b/x
(1)b=1
f'(x)=x+a+2/x
∵函数f(x)在(0,1)上不单调
∴存在x∈(0,1)使得f'(x)=0
即x+a+2/x=0在（0,1）内有解
∴a=-x-2/x x∈(0,1)
g(x)=-x-2/x
g'(x)=-1+2/x^2=(2-x^2)/x^2>0恒成立
∴g(x)为增函数
∴g(x)∈(-∞,-3)
∴a<-3
2
∵f(x)在(0,m)和(n,+∞)上为增函数，
在(m,n)上为减函数(0<m<1,1<n<2),
∴f'(1)<0,f'(2)>0,x趋于0时f'(x)>0
∴1+a+2b<0,2+a+b>0,b>0
在aOb内画出满足上面不等式的
可行域，为三角形区域，不含边界
顶点A(-1,0),B(-2,0),C(-3,1)
目标函数z=b-a
最小值最优解为A(-1,0),最小值为1
最大值最优解为C(-3,1)，最大值为4
∵可行域不含边界
∴b-a的范围是（1,4）

Answer 2

（一）f(x)=(1/2)x^2+ax+2lnx(x>0)
f'(x)=x+a+2/x。
因为x+2/x在区间(0,1)上单调递减、值域为(3,+无穷)。
所以，若f'(x)=x+a+2/x区间(0,1)上有负值，则f'(1)=3+a<0，即a<-3。
（二）f'(x)=x+a+2b/x=(x^2+ax+2b)/x。
由题意可知，f(x)在x=m处取得极大值、在x=n处取得极小极。
因为0<m<1、1<n<2。因此，f'(x)在区间(0,1)和(1,2)上各有一个零点。
即二次方程x^2+ax+2b=0区间(0,1)和(1,2)上各有一个根。
设h(x)=x^2+ax+2b，则h(0)=2b>0、h(1)=1+a+2b<0、h(2)=4+2a+2b>0。
在平面aOb中，在以上不等式组确定的区域内，求目标函数z=b-a的值域。
用线性规划方法可求得b-a的取值范围是：(1,4)。

Answer 3

f'(x)=x+a+2b/x
若f(x)在(0,1)上不单调则f'(x)=0在(0,1)有实数根则x²+ax+2=0在(0,1)上有实数根则

Answer 4

【一】
b=1，则f(x)=(1/2)x²＋ax＋2lnx，得：
f'(x)=x＋a＋(2/x)=(x²＋ax＋2)/(x)
因f'(0)>0，则只要方程x²＋ax＋2=0在区间(0，1)上有根就可以了
设：g(x)=x²＋ax＋2，则只要：g(x)=0在区间(0，1)上有根就可以了。
①若对称轴x=－a/2≥1，即：a≤－2时，只要：g(1)=a＋3<0，得：a<－3；
②若对称轴x=－a/2∈(0，1)，即：－2<a<0，此时只要判别式=a²－8>0，得：a>2√2或a<－2√2，得：此时a不存在。
综合，有：a<－3
【二】
f'(x)=x＋a＋(2b/x)=(x²＋ax＋2b)/(x)
则：
①f'(m)=0，得：m²＋am＋2b=0
②f'(n)=0，得：n²＋an＋2b=0
两式相减，得：
(m－n)(m＋n)＋a(m－n)=0
a=－(m＋n)
则：2b=－m²－am=－m²＋m(m＋n)=mn
即：
a=－(m＋n)
b=(1/2)mn
b－a=(1/2)mn＋(m＋n)
=(1/2)[mn＋2m＋2m＋4]－2
=(1/2)(m＋2)(n＋2)－2
因0<m<1且1<n<2
则：2<m＋2<3、3<n＋2<4
6<(m＋2)(n＋2)<12
则：1<b－a<4