Question

已知函数f（x）=mx+n1+x2是定义在R上的奇函数，且f（1）=12（1）求实数m，n的值；（2）用定义证明f（x）

已知函数f（x）=mx+n1+x2是定义在R上的奇函数，且f（1）=12（1）求实数m，n的值；（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）试画出函数 y=f（x）草图．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=

mx+n

1+x2

是定义在R上的奇函数，
∴对于定义域内的任意实数x，都有f（-x）=-f（x）
即

?mx+n

1+x2

=-

mx+n

1+x2

，∴-mx+n=-mx-n恒成立，∴n=0
又∵f（1）=

1

2

∴

m×1

1+12

＝

1

2

，解得m=1
综上m=1，n=0；
（2）由（1）知，f（x）=

x

1+x2

，
任取x₁、x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，可得
f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1?x2)(1?x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵x₁、x₂∈（-1，1），故1-x₁x₂＞0，1+x12＞0，1+ x22＞0，
∵x₁＜x₂ 故x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，得f（x₁）＞f（x₂）
由此可得函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）函数 y=f（x）的草图，如图所示：