Question

定义在R上的函数f(x)=e^x+mx^2-x,m>0,当x1+x2=1时,不等式f(x1)+f(-1)<f(x2)+f(2)恒成立,则实数x1的范围是

(-OO,2)

Answer 1

• f(-1)=1/e+m+1 f(2)=e²+4m-2

  令g(x)=f(1-x)+f(2)-f(x)-f(-1)

  =e^(1-x)+m(1-x)^2-(1-x)+e²+4m-2-e^x-mx^2+x-1/e-m-1

  =e^(1-x)-e^x-2mx+2x-4+e²+4m-1/e

  g'(x)=-e^(1-x)-e^x-2m+2<0 

  g(x)是减函数

  ∵ g(2)=e^(1-2)-e^2-4m+4-4+e²+4m-1/e=0

  ∴x<2时 g(x)>g(2)=0，即实数x∈(-∞,2)时，不等式恒成立

  ∴x₁的取值范围是x₁∈(-∞,2)