Question

（1）定义在R上的函数f（x）（f（x)≠0）满足：对任意实数x1,x2，总有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且x＞0时...

（1）定义在R上的函数f（x）（f（x)≠0）满足：对任意实数x1,x2，总有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且x＞0时，0＜f(x)＜1，试判断f(x)的单调性。
（2）定义在R上的不恒为0的函数f(x)满足：对任意实数x1,x2，都有f(x1x2)=x2f(x1)+x1f(x2),试判断f(x)的奇偶性。

Answer 1

（1）定义在R上的函数f（x）（f（x)≠0）满足：对任意实数x1,x2，总有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且x＞0时，0＜f(x)＜1，试判断f(x)的单调性。
解：若存在x0,使得f(x0)=0,则
f(x)=f(x-x0+x0)=f(x-x0)f(x0)=0,
这与“x＞0时，0＜f(x)”矛盾。
∴f(x)=[f(x/2)]^2>0,
设x1<x2,则x2-x1>0,0<f(x2-x1)<1,
∴f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1)<f(x1),
∴f(x)是减函数。

（2）定义在R上的不恒为0的函数f(x)满足：对任意实数x1,x2，都有f(x1x2)=x2f(x1)+x1f(x2),试判断f(x)的奇偶性。
解：令x2=1,得f(x1）=f(x1)+x1f(1),
∴f(1)=0,
令x1=x2=-1,得0=-2f(-1),
∴f(-1)=0,
令x1=x,x2=-1,得f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函数。

Answer 2

gf

Answer 3

7

Answer 4

f