Question

1、定义在R上的函数f（x）(f(x)≠0)满足对任意实数x1、x2都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)

且x＞0时，0＜f（x）＜1，判断函数f（x）的单调性。
2、定义在R上的不恒为0的函数f（x）满足：对任意x1、x2都有f（x1x2）=x2*f（x1）+x1*f（x2），判断函数奇偶性。
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Answer 1

1.因为f(x1+x2)=f(x1)f(x2)
所以f(x1-0)=f(x1)f(0),即f(0)=1.
故有f(x1-x1)=f(x1)f(-x1)=1,即f(x1)和f(-x1)同号且互为倒数。
⑴当x>0时，0<f(x)<1，f(-x)>1,x>-x,f(x)<f(-x)，递减
⑵当x<0时，f(x)>1,0<f(-x)<1,x<-x,f(x)>f(-x)，递减
因x>0时，f(x)<1=f(0),故整个函数单调递减。

2.因为f(x1x2)=x2*f(x1)+x1*f(x2)
所以f(1*1)=1*f(1)+1*f(1),即f(1)=0
f(-1*-1)=-1*f(-1)-1*f(-1),即f(-1)=0
故f(-x1)=f(-1*x1)=-1*f(x1)+x1*f(-1)=-f(x1)
奇函数