Question

若定义在R上的函数f(x)对任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立，且当x>0时，f(x)>1

若f(4)=5,不等式f(cos^2+asinx-2)<3对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1，当x>0时，f(x)>1，可知f(x)为升函数
又f(4) = 5,f(4)=2f(2)-1, f(2)=3
不等式f(cos^2+asinx-2)<3对任意的x∈R恒成立,那么cos^2+asinx-2<2对任意的x∈R恒成立
asinx < 3+(sinx)^2, 由于sinx∈[-1, 1],可以分sinx∈[-1, 0)和(0, 1]进行说明
最终可得实数a的取值范围为（-4,4）