Question

(1)求证:Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1(n∈N*)(...

(1)求证:Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1 (n∈N*) (2)设n是满足Cn0+2Cn1+3Cn2+…+(n+1)•Cnn＜1000的最大正整数，求97n除以99的余数. (3)当n∈N*且n＞1时，求证2＜(1+1n)n＜3.

Answer 1

解答:证明:(1)记S=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，
倒序则S=nCnn+(n-1)Cnn-1+…+Cn1 (2分)
∴2S=ncn0+nCn1+…+nCnn=n•2n
∴S=n•2n-1 …(2分)
解:(2)Cn0+2Cn1+3Cn2+…+(n+1)Cnn
=(Cn0+Cn1+…Cnn)+(Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn) (1分)
=2n+n•2n-1＜1000
由于7•26+27=576＜1000＜1280=8•27+28，
∴n=7 …(2分)
977=(99-2)7=C70•997-C71•996•2+…+C76•99•26-C77•27
∴97n除以99的余数即为-C77•27除以99的余数70 (2分)
证明:(3)∵(1+
1
n
)n=cn0+Cn1•
1
n
+Cn2•(
1
n
)2+…+Cnn•(
1
n
)n＞cn0+Cn1•
1
n
=2 (1分)
∵cn0+Cn1•
1
n
+Cn2•(
1
n
)2+…+Cnn•(
1
n
)n
=2+
n(n-1)
2!
•
1
n2
+…+
n(n-1)(n-1)…2×1
n!
•
1
nn
＜2+
1
2!
+…+
1
n!
(2分)
＜2+
1
1×2
+…+
1
(n-1)n
=2+(1-
1
2
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)
=3-
1
n
＜3 (2分)